机械振动和电磁振荡

简谐振动

简谐振动表达式

如果物体所受合外力的大小总是与物体离开平衡位置的唯一大小成正比且方向相反，那么该物体的运动就是简谐振动。这种性质的力称为线性回复力。线性回复力 $F=-kx$
$$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-{\omega }^{2}x$$
该微分方程的通解为
$$\begin{gathered} x=A\cos (\omega t+{\varphi }_0) \\ \text{或 }x=A\sin (\omega t+{\varphi }_0^{\prime }) \end{gathered}$$

其中A为振幅，${\varphi }_0$ 为相位。 $\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}$

简谐振动的速度与加速度为
$$\begin{gathered} v(t)=-\omega A\sin (\omega t+{\varphi }_0) \\ a(t)=-{\omega }^{2}A\cos (\omega t+{\varphi }_0) \end{gathered}$$
作简谐振动的物体加速度大小总是与其位移大小成正比且方向相反，作为简谐振动的运动学特征。简谐振动表达式也可以用复指数形式表示，即
$$x=A{e}^{i(\omega t+{\varphi }_0)}$$

描述简谐振动的特征

振幅，作简谐振动的物体离开平衡位置的最大位置的绝对值A叫做振幅。

周期和频率，完全一次全震动经理的事件称为周期，用T来表示
$$x=A\cos (\omega (t+T)+{\varphi }_0)=A\cos (\omega t+{\varphi }_0)$$
满足上述方程的T的最小值应该满足 $\omega T=2\pi$
$$T=\frac{2\pi }{\omega }$$
单位时间内物体所作全振动的次数称为振动频率，用 $\nu$ 或 $f$ 表示，单位是Hz。
$$\begin{gathered} \nu =\frac{1}{T}=\frac{\omega }{2\pi } \\ \omega =2\pi \nu \end{gathered}$$
所以 $$\omega$$ 表示物体在 $2\pi s$ 时间内所作的全震动次数，称为振动的角频率，也称为原频率，单位是rad/s。对于弹簧振子，其角频率 $\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}$ 所以得到
$$\begin{gathered} T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \\ \nu =\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m}} \end{gathered}$$

简谐运动的能量

以水平弹簧振子为例讨论做简谐振动的系统的能量，此时除了动能以外，还具有势能。振动物体的动能为
$$E_k=\frac{1}{2}m{v}^2$$
如果以平衡位置为势能零点，弹性势能为
$$E_p=\frac{1}{2}k{x}^2$$
因为总能量守衡，其中有 ${\omega }^2=\frac{k}{m}$
$$\begin{array}{rl}E& =E_k+E_p\\ & =\frac{1}{2}m{\omega }^2{A}^2{\sin }^2(\omega t+{\varphi }_0)+\frac{1}{2}{A}^2{\cos }^2(\omega t+{\varphi }_0)\\ & =\frac{1}{2}k{A}^2\text{(守恒)}\end{array}$$

常见简谐振动

单摆
$$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$$
复摆在摆角很小时也在其平衡位置附近作简谐振动，其周期为
$$T=\frac{2\pi }{\omega }=2\pi \sqrt{\frac{J}{mgh}}$$

受迫振动与共振

共振条件：${\omega }_d={\omega }_0$

阻尼振动

在阻尼振动中，振动系统具有的能量将在振动过程中不断减少。
$$F_f=-\gamma v=-\gamma \frac{dx}{dt}$$
其中 $\gamma$ 称为阻尼系数，大小由物体的形状、大小和流体性质来决定。这里设振动物体的质量为m，在弹性力和阻力作用下的运动方程为
$$m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-kx-\gamma \frac{dx}{dt}$$
令 $\frac{k}{m}={\omega }_0^2$ ，$\frac{\gamma }{m}=2\delta$ ，这里 ${\omega }_0$ 称为无阻尼时振子的故又叫频率，$\delta$ 称为阻尼系数，代入上式后求出微分方程的通解得
$$\begin{gathered} x=A_0{e}^{-\delta t}\cos ({\omega }^{\prime }t+{\varphi }_0^{\prime }) \\ \text{式中 }{\omega }^{\prime }=\sqrt{{\omega }_0^2-{\delta }^2}=\sqrt{\frac{k}{m}-\frac{{\gamma }^2}{4m^2}} \end{gathered}$$
阻尼振动的周期T’
$$T^{\prime }=\frac{2\pi }{{\omega }^{\prime }}=\frac{2\pi }{\sqrt{{\omega }_0^2-{\delta }^2}}$$
阻尼越大，振幅的减小越快，周期比无阻尼时大得越多。若阻尼作用 $\delta <{\omega }_0$ 时，为正常的阻尼振动，当阻尼过大，即 $\delta >{\omega }_0$ ，物体以非周期运动得方式慢慢回到平衡位置，这种情况称为过阻尼，

电磁振荡

LC振荡电路

电路中电压和电流得周期性变化为电磁振荡，产生电磁振荡得电路称为振荡电路。如果电路中没有任何能量损耗,这种电磁振荡就是无阻尼自由振荡。
$$q=Q_0\cos (\omega t+{\varphi }_0)$$
其中Q_0为级板上电荷量的最大值，称为电荷量振幅，\phi_0是振荡的初相位。Q_0和\phi_0的大小由初始条件决定，\omega 是振荡电路得到角频率，无阻尼自由振荡的频率和周期分别为
$$\begin{gathered} \nu =\frac{\omega }{2\pi }=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}} \\ T=2\pi \sqrt{LC} \end{gathered}$$
对时间t求导数，可得电路中任一时刻电流为
$$i=\frac{dq}{dt}=-\omega Q_0\sin (\omega t+{\varphi }_0)$$
令\omega Q_0 = I_0 表示电流的最大值，称为电流振幅，则上式
$$i=-I_0\sin (\omega t+{\varphi }_0)=I_0\cos (\omega t+{\varphi }_0+\frac{\pi }{2})$$
现在考虑LC电路中的能量，在任意时刻t，电容器电极板上的电荷量为q，相应的电场能量为
$$W_e=\frac{1}{2}\frac{q^2}{C}=\frac{Q_0^2}{2C}{\cos }^2(\omega t+{\varphi }_0)$$
设此时电流为i，那么线圈的磁场能量为
$$W_m=\frac{1}{2}L{i}^2=\frac{L{\omega }^2{Q}_0^2}{2}{\sin }^2(\omega t+{\varphi }_0)$$
得总能量为
$$\begin{array}{rl}W& =W_e+W_m\\ & =\frac{Q_0^2}{2C}{\cos }^2(\omega t+{\varphi }_0)+\frac{Q_0^2}{2C}{\sin }^2(\omega t+{\varphi }_0)\\ & =\frac{Q_0^2}{2C}\end{array}$$

力电对比

机械振动	电磁振荡
位移 x	电荷 q
速度 v	电流 i
质量 m	电感 L
劲度系数 k	电容倒数 $$\frac{1}{C}$$
阻力系数 $$\gamma$$	电阻 R
驱动力 F	电动势 E
弾性势能 $$\frac{1}{2}k{x}^2$$	电场能量 $$\frac{1}{2}\frac{q^2}{C}$$
动能 $$\frac{1}{2}m{v}^2$$	磁场能量 $$\frac{1}{2}L{i}^2$$

机械波和电磁波

机械波概念

机械波的产生和传播

机械波产生的条件：需要波源和介质

横波与纵波：质点振动方向与波传播方向垂直称为横波，质点振动方向与波传播方向平行称为纵波。

波阵面和波线

波阵面：振动相位相同的点构成的面。

波前：最前面的波阵面。

波线：表示波的传播方向的有向线段。

平面简谐波的波函数

振动函数

$$y=A\sin (\omega t+{\varphi }_0)$$

波长、频率和波速之间的关系

波长 \lambda 是沿波的传播方向两相邻同相位点之间的距离。

周期 T 为波前进一个波长的距离所需要的时间频率 $\nu =\frac{1}{T}$，角频率 $\omega =2\pi \nu =\frac{2\pi }{T}$。

波速 u 振动状态或相位在空间的传播速度 $u=\frac{\lambda }{T}=\nu \lambda$​。

波动速度的振幅
$$v_{max}=A\omega$$

波函数

$$\xi (\vec{r},t)=f(\vec{r},t)=f(x,y,z,t)$$

波函数表示任一时刻物理量 $\xi$ 在空间的分布情况
$$y(x,t)=A\cos [\omega (t-\frac{x}{u}+{\varphi }_0)]$$

波函数反应了波的时间空间双重特性

波的能量和强度

波速

波速由弹性介质决定（弹性和惯性）

绳索或弦线的波速 $u=\sqrt{\frac{F}{{\rho }_l}}$ ，其中F为张力，${\rho }_l$ 为线密度。

固体中，横波 $u=\sqrt{\frac{G}{\rho }}$ ，G为切变模量， $\rho$ 为固体密度。

纵波 $u=\sqrt{\frac{E}{\rho }}$ ，E为弹性模量

波的能量

平面简谐波
$$y(x,t)=A\cos [\omega (t-\frac{x}{u})+{\varphi }_0]$$
考虑介质中体积元为 $\Delta V$ 质量为 $\Delta m$ 的质元。
$$\begin{gathered} \Delta E_k=\Delta E_p=\frac{1}{2}\rho A^2{\omega }^2(\Delta V){\sin }^2[\omega (t-\frac{x}{u})+{\varphi }_0] \\ \Delta E=\Delta E_k+\Delta E_p=\rho A^2{\omega }^2(\Delta V){\sin }^2[\omega (t-\frac{x}{u})+{\varphi }_0] \end{gathered}$$
在波动过程中，任一质元的动能和势能相等，且相位变化。与弹簧振子的能量不同。

波的能量密度 w，为介质中单位体积的波动能量
$$w=\frac{\Delta E}{\Delta V}=\rho A^2{\omega }^2{\sin }^2[\omega (t-\frac{x}{u})+{\varphi }_0]$$
在一个周期内的平均值 \overline{w} 平均能量密度
$$\overline{w}=\frac{1}{2}\rho A^2{\omega }^2$$
机械波的能量与振幅的平方、频率的平方以及介质的密度成正比。

弦上的横波
$$\Delta E=\Delta E_k+\Delta E_p=\frac{1}{2}{\rho }_l\Delta x{\left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)}^2+\frac{1}{2}F\Delta x{\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)}^2$$
平面简谐波

波的强度

能流，单位时间内通过介质中某个截面 S 的波动能量。平均能流如下
$$\overline{P}=\overline{w}uS\text{(J/s)}$$
平均能流密度 I，通过垂直于传播方向单位面积的平均能流。
$$I=\overline{w}u=\frac{1}{2}\rho u{A}^2{\omega }^2=\frac{1}{2}Z{A}^2{\omega }^{2}W/{\mathrm{m}}^2$$
其中 $Z=\rho u$，为介质的特性阻抗。

波的吸收

若介质吸收机械波的能量，则传播是波的振幅将减小
$$-dA=\alpha Adx$$
\alpha 为介质的吸收系数，当\alpha为常数时，择优
$$A=A_0{e}^{-\alpha x}$$

电磁波

电磁波的产生

有效发射电磁波的必要条件：电路的振荡频率必须足够高，LC电路必须开方。LC振荡电路可作为电磁波的波源。
$$\nu =\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$$
电偶极矩衡量正电荷分布与负电荷分布的分离状况，即电荷系统的整体极性。
$$\vec{p}=|q|\vec{l}$$

驻波

驻波表达式

驻波产生的条件：两列振幅相同的相干波沿相反方向传播叠加而成。
$$\begin{gathered} y_1=A\cos 2\pi (\frac{t}{T}-\frac{x}{\lambda }) \\ {y}_2=A\cos 2\pi (\frac{t}{T}+\frac{x}{\lambda }) \\ y=y_1+y_2=A\cos 2\pi (\frac{t}{T}-\frac{x}{\lambda })+A\cos 2\pi (\frac{t}{T}+\frac{x}{\lambda }) \end{gathered}$$
得到驻波的表达式
$$y=2A\cos \frac{2\pi }{\lambda }x\cos \frac{2\pi }{T}t$$

性质

振幅
$$\alpha (x)=\left|2A\cos \frac{2\pi }{\lambda }x\right|$$
参与波动的每个点振幅都恒定不变，不同位置的各点振幅不同，与行波不同。
$$y=2A\cos \frac{2\pi }{\lambda }x\cos \frac{2\pi }{T}t=\pm \alpha (x)\cos \frac{2\pi }{T}t$$
波腹与波节

波腹坐标：$x=k\frac{\lambda }{2}$ ，相邻波腹间距：$\frac{\lambda }{2}$

波节坐标：$x=(2k+1)\frac{\lambda }{4}$ ，相邻波节间距：$\frac{\lambda }{2}$

惠更斯原理与波的折射

惠更斯原理

介质中任一波面上的各点都可以看作是产生球面子波的波源。

多普勒效应

波源或观察者相对于介质运动，使观察者接受到的波的频率发生变化的现象。

波源不动，观察者运动
$${\nu }_R={\nu }_S\frac{u+u_R}{u}$$
观察者不懂，波源运动
$${\nu }_R={\nu }_S\frac{u}{u-u_S}$$

光学

相干光

• 相干光是指两束频率相同、振动方向相同，并且具有确定相位差的光。
• 相干光的产生需要满足相干条件：振动方向相同、频率相同，具有确定的相位差。

获得相干光的基本原理是把由光源上同一点发出的光设法“一分为二”。有分波阵面法和分振幅法。

双缝干涉

基本性质

干涉明暗条纹位置
$$d\sin \theta =k\lambda$$
各级明纹中心位置
$$x=\pm k\frac{D\lambda }{d}$$
各级暗纹中心位置
$$x=\pm \frac{2k+1}{2}\frac{D\lambda }{d}$$
条纹间距
$$\Delta x=\frac{\lambda D}{d}$$

挡住一条缝

双缝干涉中，如果用厚度为 e，折射率为 n 的玻璃片覆盖其中一缝，零级明纹将移动到原来的几级明纹处。

光在玻璃中的传播速度是空气中的 $\frac{c}{n}$，所以光在玻璃中传播的路径会相当于在空气中多走一段相当于 $(n-1)e$ 的距离。

干涉条纹的级数：
$$d\sin \theta =m\lambda$$
其中 d 是缝距，$\theta$ 是干涉条纹的角度，m 是干涉级数，$ \lambda$ 是光的波长。

因为玻璃片的折射率为 n，光在玻璃中行进的额外路径会引起相位差，而这相当于改变了光的传播路径，额外的路径差为 (n - 1)e，所以相位差为：
$$\Delta \Phi =\frac{2\pi (n-1)e}{\lambda }$$
这个相位差导致条纹的位移，为了使相位差对应一个整数倍的干涉条纹，偏移的级数 $m_{shift}$ 可以通过以下公式计算：
$$m_{shift}=\frac{\Delta \Phi }{2\pi }=\frac{(n-1)e}{\lambda }$$

牛顿环

波长为 $\lambda$ 的单色光垂直照射空气中的牛顿环装置，若平凸透镜的曲率半径为R，则

暗环半径 r_k 公式：
$$r_k=\sqrt{k\lambda R}$$
明环半径 r_k 公式：
$$r_k=\sqrt{(k-\frac{1}{2})\lambda R}$$

光程与光程差

给定单色光的振动频率 $\nu$ 在不同介质中是相同的。在折射率为n的介质中，光速 $\nu$ 是真空中光速 c 的 $\frac{1}{n}$。所以在此介质中，单色光的波长 ${\lambda }^{\prime }$ 将是真空中波长 $\lambda$ 的 $\frac{1}{n}$
$${\lambda }^{\prime }=\frac{v}{\nu }=\frac{c}{n\nu }=\frac{\lambda }{n}$$
在折射率为n的某一介质中，如果广播通过的波程即几何路程为x，亦即其间的波数为 $\frac{x}{\lambda }$，那么同样波数的广播在真空中通过的几何路程是
$$\frac{x}{{\lambda }^{\prime }}\lambda =nx$$
由此可见，光波再介质中的路程x相当于再真空中的路程 $nx$，所以广播再某一介质中所经历光程等于它的集合路程 $x$ 与此介质的折射率 $n$ 的乘积，$nx$ 称为光程

相位差可以用光程差来表示，其中 delta 为光程差，$Phi$ 为相位差
$$\Delta \Phi =\frac{2\pi \delta }{\lambda }$$

薄膜干涉

等倾干涉
$$2\theta =\arcsin (\frac{\lambda }{2nd})$$
等厚干涉
$$\frac{\lambda }{2}=(m-\frac{1}{2})\frac{\Delta nd}{\cos \theta }$$

例题

折射率为 1.30 的照相机镜头的表面上涂有一层厚度均匀的折射率为 1.38 的 MgF_2，如果此膜对波长为 550 nm 的光起增透作用，则此膜的最小厚度为多少？若此膜起正反作用，则此膜的最小厚度为多少？

增透作用的条件是光在膜表面和底面之间的干涉使得反射最小化，这发生在膜的厚度 t 使得光在膜中传播的相位差为 \pi （几半波长的相位差）。

对于增透作用，膜的厚度 t 满足以下条件：
$$2nt=\frac{\lambda }{2}$$

迈克尔逊干涉

单缝夫琅禾费衍射实验

各级衍射条纹的位置

当单缝宽度 a 变小而其他条件不变，则对应的衍射角变大。
$$a\sin {\theta }_m=m\lambda$$

明纹与暗纹

在单缝夫琅禾费衍射实验中，波长为 500 nm 的单色光垂直照射到缝宽为 0.2 mm 的单缝上，测得屏幕上中央明纹的宽度为 3.0 mm 。求凸透镜的焦距及第一级明纹的角宽度和线宽度。

暗纹位置 y_1 在屏幕上的距离可以表示为：
$$y_1=L\tan \theta \approx L\theta =L\frac{\lambda }{a}$$
其中 L 为焦距，因此中央明纹的宽度为：
$$W_{center}=2y_1=2L\frac{\lambda }{a}$$
第一级明纹的角宽度 \Delta \theta_1 是指从中央明纹到第一级明纹的角度。对于单缝衍射，第一级明纹的角度 \theta_1 对应于衍射的条件：
$$\sin {\theta }_1=\frac{\lambda }{a}$$
由于 \theta_1 很小，可以近似为：
$${\theta }_1=\frac{\lambda }{a}$$
第一级明纹的线宽度 W_1 是第一级明纹在屏幕上的实际宽度，计算公式为：
$$W_1=L\Delta {\theta }_1=L\cdot \frac{\lambda }{a}$$

光的偏振

马吕斯定律

设 $\alpha$ 是检偏器偏振化方向和入射线偏振光的光矢量振动方向之间的夹角。
$$\begin{gathered} A=A_0\cos \alpha \\ I=\frac{1}{2}\rho u{A}^2{\omega }^2 \end{gathered}$$
得到马吕斯定理
$$I=I_0{\cos }^2\alpha$$

相对论

狭义相对论的基本原理

• 光速不变原理，在所有惯性系中，真空中的光速都等于 $$c=\frac{1}{\sqrt{{\mu }_0{ϵ}_0}}$$，分别是真空磁导率和真空介电常数，与光源运动无关。
• 效益相对论原理，在所有惯性系中，物理定律拥有相同的表达形式，这是力学相对性原理的推广。

洛伦兹坐标变换

当两个参考系 $s$ 与 $s^{\prime }$ 在时刻 $t=0$ 时重合，且 $s^{\prime }$ 相对 $$s$$ 以速度 $$v$$ 沿 $$x$$ 轴正方向运动时，一个事件在 $$s$$ 系得坐标 $$(x,y,z,t)$$ 在 $$s^{\prime }$$ 系的坐标 $$(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime },t^{\prime })$$ 满足以下关系。
$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ c{t}^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\gamma & -\beta \gamma \\ -\beta \gamma & \gamma \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ ct\end{array}\right]$$
其中，$\gamma$ 称为洛伦兹因子
$$\begin{gathered} \beta =\frac{v}{c} \\ \gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \end{gathered}$$

狭义相对论运动学与动力学

时间膨胀

在一个惯性系中，观察一个高速运动的钟
$$t=\frac{t_0}{\sqrt{1-(\frac{v}{c}{)}^2}}$$

$$动钟计时值t^{\prime }=静钟计时值t\times 洛伦兹因子\gamma$$

适用于两个惯性参考系之间的坐标变换，涉及事件在时间和空间上的联动。
$$t^{\prime }=\frac{t-\frac{u}{c^2}x}{\sqrt{1-(\frac{u}{c}{)}^2}}$$

长度收缩

$$L=L_0\sqrt{1-(\frac{v}{c}{)}^2}$$

$$x^{\prime }=\frac{x-ut}{\sqrt{1-(\frac{u}{c}{)}^2}}$$

相对速度

$$v^{\prime }=\frac{v_1+v_2}{1+\frac{v_1{v}_2}{c^2}}$$

相对论质量

$$m=\frac{m_0}{\sqrt{1-(\frac{v}{c}{)}^2}}$$

相对论能量

根据相对论质量公式，运动时物体质量增大，同时运动时将会有动能，质量与动能均随速度增大而增大。
$$E_k={\int }_{m_0}^m{c}^{2}dm=m{c}^2-m_0{c}^2$$

$$\begin{gathered} 总能量=静止能量+动能 \\ {E}_0=m{c}^2 \end{gathered}$$

相对论动量与能量
$$E^2=(pc{)}^2+(m_0{c}^2{)}^2$$
当速度接近光速时
$$E=pc$$

早期量子论和量子力学基础

热辐射和普朗克能量子假设

热辐射现象，物体在任何温度下发射电磁波的现象。

基尔霍夫辐射定律：描述物体辐射能量的能力

普朗克公式：描述黑体辐射的公式，引入能量子假设 $$ϵ=h\nu$$，h即为普朗克常量。

光电效应

实验规律

在研究光电效应的实验装置中，在光电管两级加上电势差U_{AK}，当某些单色光照射到阴极板K上时会释放电子，这种电子称为光电子，这些光电子在加速电场作用下，飞向阳极A，形成回路中的光电流。

饱和电流，以一定强度单色光照射电极K时，加速电势差U_{AK}越大，光电流i也越大。光电流有饱和值i_m。如果增加光的强度，在相同的加速电势差下，光电流的量值也较大，相应的i_m也增大。单位时间内，受光照的金属板释放出来的电子书和入射光的强度成正比。

遏制电势差
$$\frac{1}{2}m{v}_m^2=e{U}_a$$

光子理论

光在空间传播时，具有粒子性，光束可以想象成一束以光速c运动的粒子流，这些粒子称为光量子。简称光子，每一个光子的能量也是 $$ϵ=hv$$，不同频率的光子具有不同的能量。按照光子理论，光电效应可以解释如下：当金属中的一个自由电子从入射光中吸取一个光子后，就获得能量 $$hv$$ 大于电子从金属表面逸出时所需的逸出功 A，这个电子就可以从金属中逸出。
$$hv=\frac{1}{2}m{v}_m^2+A$$
其中 $$\frac{1}{2}m{v}_m^2$$ 是光电子的最大初动能。

光的波粒二象性

德布罗意波：实物粒子也具有波动性 $$\lambda =\frac{h}{p}$$
$$p=\frac{h}{\lambda },m=\frac{h}{\lambda c},ϵ=h\nu$$

康普顿效应*

氢原子光谱与波尔氢原子理论

氢原子光谱：氢原子光谱的规律性，里德伯公式

玻尔的氢原子理论：定态条件、频率条件和角动量量子化条件